প্রক্ষেপণ গতি: ৫০ মিটার ভবন থেকে নিক্ষিপ্ত বলের পথ ও আঘাতের স্থান

আমরা একটি প্রক্ষেপণ গতি সমস্যা নিয়ে কাজ করছি:

একটি বল ৫০ মিটার উঁচু ভবনের ছাদ থেকে $v_0 = 20\,\text{m/s}$ বেগে $\theta = 60^\circ$ কোণে নিক্ষেপ করা হলো। বলটি কখন ও মাটি থেকে কত দূরে গিয়ে পড়ে তা নির্ণয় করতে হবে।

এই ভিজুয়ালাইজেশনে আমরা বলের সম্পূর্ণ গতিপথ, সময় অনুযায়ী অবস্থান, এবং মাটিতে আঘাতের বিন্দু ইন্টারেক্টিভভাবে দেখাবো।

---

ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ

১. প্রাথমিক ডাটা ও ভেক্টর ভাঙা

• ভবনের উচ্চতা: $h_0 = 50\,\text{m}$
• প্রাথমিক বেগ: $v_0 = 20\,\text{m/s}$
• নিক্ষেপ কোণ: $\theta = 60^\circ$
• অভিকর্ষজ ত্বরণ: $g \approx 9.8\,\text{m/s}^2$ (আমরা এখানে এটাই ব্যবহার করব)

প্রাথমিক বেগকে অনুভূমিক ও উর্ধ্বাংশে ভাঙা হয়:

$$\begin{aligned} v_{0x} &= v_0\cos\theta,\\ v_{0y} &= v_0\sin\theta. \end{aligned}$$

২. গতির সমীকরণ (সময় $t$-এর ফাংশন)

কার্তেসিয়ান সমন্বয়ে ($x$ ডানে, $y$ ওপরে; $y=0$ মাটি):

• অনুভূমিক অবস্থান:

$$x(t) = v_{0x}\, t = v_0\cos\theta\, t$$

• উর্ধ্ব অবস্থান (প্রথমে ৫০ মিটার উপরে):

$$y(t) = h_0 + v_{0y}\, t - \tfrac12 g t^2.$$

বল মাটিতে পড়বে যখন $y(t) = 0$। অর্থাৎ সমীকরণ:

$$0 = h_0 + v_{0y} t - \tfrac12 g t^2.$$

এটি $t$-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে বড় ধনাত্মক মূলটাই বাস্তব আঘাতের সময়।

৩. আঘাতের সময় ও দূরত্ব (ধারণাগতভাবে)

দ্বিঘাত রূপ:

$$-\tfrac12 g t^2 + v_{0y} t + h_0 = 0$$

অথবা,

$$\tfrac12 g t^2 - v_{0y} t - h_0 = 0.$$

সাধারণ সমাধান:

$$t = \frac{v_{0y} \pm \sqrt{v_{0y}^2 + 2 g h_0}}{g}.$$

• একটি সমাধান ছোট (বা ঋণাত্মক), যেটা শারীরিকভাবে অগ্রহণযোগ্য।
• অন্যটি বড় ধনাত্মক মান — আমরা এটাকেই আঘাতের সময় $t_\text{hit}$ ধরি।

এরপর অনুভূমিক দূরত্ব:

$$x_\text{hit} = v_{0x} t_\text{hit}.$$

এই ভিজুয়ালাইজেশনের স্লাইডারগুলো দিয়ে আপনি:

• প্রাথমিক বেগ ও কোণ পরিবর্তন করে নতুন $t_\text{hit}$ ও $x_\text{hit}$ কীভাবে বদলায় সেটা দেখতে পাবেন,
• ভবনের উচ্চতা পরিবর্তন করলে পথ কীভাবে লম্বা বা ছোট হয় তা বুঝতে পারবেন,
• এবং $g$ বদলে (যেমন, অন্য গ্রহ) প্রক্ষেপণ কত দূর যায় তা পর্যবেক্ষণ করতে পারবেন।

---

ভিজুয়ালাইজেশনে কী দেখা যাবে

1. ডানদিকে প্রসারিত একটি মাটি রেখা ($y=0$).
2. বাম পাশে একটি উল্লম্ব ভবন (উচ্চতা $h_0$).
3. ভবনের মাথা থেকে শুরু হওয়া বলটির পথ — একটি বাঁকা প্যারাবোলা।
4. অ্যানিমেশনে:
   • বলটি সময়ের সঙ্গে সঙ্গে ঐ প্যারাবলিক পথে চলবে,
   • যখন $y=0$ হয়, তখন বলটি থেমে যাবে এবং আঘাতের পয়েন্ট হাইলাইট হবে।
5. একই সঙ্গে একটি তাত্ত্বিক ট্রাজেক্টরি (হালকা রেখা) সম্পূর্ণ পথ দেখাবে, আর অ্যানিমেটেড বল সেই পথ ধরে এগোবে।

---

গাণিতিক ফর্মুলা (সারসংক্ষেপ)

$$\begin{aligned} v_{0x} &= v_0 \cos\theta,\\ v_{0y} &= v_0 \sin\theta,\\[4pt] x(t) &= v_{0x} t,\\ y(t) &= h_0 + v_{0y} t - \tfrac12 g t^2,\\[4pt] t_\text{hit} &= \frac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2 + 2 g h_0}}{g},\\ x_\text{hit} &= v_{0x} t_\text{hit}. \end{aligned}$$

ভিজুয়ালাইজেশনের ক্যানভাসে আমরা কার্তেসিয়ান অক্ষকে কেন্দ্রের বদলে বাম-নিচ থেকে সাজাবো, কিন্তু অভ্যন্তরীণ গণনা ঠিক উপরের সমীকরণগুলো অনুসারে করা হবে।