Две шайбы и упругая стена: рассеяние энергии при столкновении

Рассмотрим движение в плоскости стола в системе вида «вид сверху». Одна шайба массой $m$ покоится на расстоянии $s$ от стены, вторая такая же шайба летит к стене со скоростью $u$, причём направление её движения перпендикулярно стене.

1. Что важно в задаче

• Шайбы одинаковые.
• Стенка гладкая, а удар о стену упругий: модуль скорости после удара не меняется, меняется только направление нормальной компоненты.
• При центральном столкновении шайб в системе центра масс теряется доля $\alpha$ от их суммарной кинетической энергии.

2. Центральное столкновение двух одинаковых шайб

Пусть до удара одна шайба движется со скоростью $u$, а вторая покоится. Для одинаковых масс скорость центра масс равна

$$V_{\text{cm}}=\frac{u}{2}.$$

В системе центра масс до столкновения обе шайбы движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями $u/2$, поэтому суммарная энергия в этой системе

$$E'_{\text{до}}=2\cdot \frac{m}{2}\left(\frac{u}{2}\right)^2=\frac{mu^2}{4}.$$

После столкновения остаётся

$$E'_{\text{после}}=(1-\alpha)E'_{\text{до}}.$$

Для центрального удара одинаковых масс в системе центра масс после удара скорости снова направлены вдоль той же прямой, но их модули уменьшаются. Обозначим модуль скорости каждой шайбы в системе центра масс после удара через $v'$. Тогда

$$2\cdot \frac{m}{2}(v')^2=(1-\alpha)\frac{mu^2}{4},$$

откуда

$$(v')^2=\frac{1-\alpha}{4}u^2, \qquad v' = \frac{u}{2}\sqrt{1-\alpha}.$$

3. Скорости в лабораторной системе

После столкновения в системе лаборатории скорости шайб получаются добавлением скорости центра масс. Если удар центральный и всё происходит вдоль одной прямой, то для одной из шайб скорость после удара равна

$$v_{\text{после}} = V_{\text{cm}} - v' = \frac{u}{2} - \frac{u}{2}\sqrt{1-\alpha} =\frac{u}{2}\bigl(1-\sqrt{1-\alpha}\bigr),$$

а для другой

$$\frac{u}{2}+\frac{u}{2}\sqrt{1-\alpha}.$$

Какая именно шайба куда уйдёт, зависит от порядка столкновений со стеной и от геометрии сценария, но ключевой факт один: после центрального удара скорость передаваемой части движения уменьшается из-за потерь энергии.

4. Удар о стену

При упругом ударе о стену нормальная к стене компонента скорости меняет знак, а модуль скорости сохраняется. Именно поэтому стена здесь не «съедает» энергию, а только отражает шайбу и может привести к повторным встречам шайб.

5. Идея решения задачи

Для полного решения обычно:

1. Отслеживают момент первого столкновения шайб.
2. Используют закон сохранения импульса вдоль линии удара.
3. Используют условие потери доли $\alpha$ энергии в системе центра масс.
4. Затем учитывают упругие отражения от стены.

Если нужно, я могу дальше дополнить решение до конца: найти, какая шайба и с какой скоростью придёт к стене после всех столкновений, либо вывести конечное расстояние до стены/время движения в зависимости от того, что требуется в задаче.